تكعيبية تشيرن‌هاوز

تكعيبية تشيرن‌هاوز، حالة a = 1

في الهندسة، تكعيبية تشيرن‌هاوز Tschirnhausen cubic أو تكعيبية تشيرن‌هاوزن Tschirnhausen cubic هي منحنى مستوي مُعـَرَّف في صيغته المنفتحة من اليسار، بالمعادلة القطبية

$r=a{\sec }^3(\theta /3)$

حيث sec هي دالة القاطع).

 التاريخ

المنحنى درسه فون تشيرن‌هاوز و دى لوپيتال، و كتلان. وقد أُعطِيت الاسم "تكعيبية تشيرن‌هاوز" في ورقة بحثية سنة كتبها R C Archibald، إلا أنها أحياناً تُعرف بإسم "تكعيبية دى لوپيتال" أو القواطع الثلاث لكتلان trisectrix of Catalan‏.

 معادلات أخرى

Put $t=\tan (\theta /3)$. ثم تطبيق triple-angle formulas يعطي

$x=a\cos \theta {\sec }^{}\frac{\theta }{3}=a({\cos }^{}\frac{\theta }{3}-3\cos \frac{\theta }{3}{\sin }^{}\frac{\theta }{3}){\sec }^{}\frac{\theta }{3}=a(1-3{\tan }^{}\frac{\theta }{3})$

$=a(1-3t^2)$

$y=a\sin \theta {\sec }^{}\frac{\theta }{3}=a(3{\cos }^{}\frac{\theta }{3}\sin \frac{\theta }{3}-{\sin }^{}\frac{\theta }{3}){\sec }^{}\frac{\theta }{3}=a(3\tan \frac{\theta }{3}-{\tan }^{}\frac{\theta }{3})$

$=at(3-t^2)$

giving a parametric form for the curve. The parameter t can be eliminated easily giving the Cartesian equation

$27a{y}^2=(a-x)(8a+x{)}^2$.

If the curve is translated horizontally by 8a and the signs of the variables are changed, the equations of the resulting right-opening curve are

$x=3a(3-t^2)$

$y=at(3-t^2)$

and in Cartesian coordinates

$x^3=9a(x^2-3y^2)$.

This gives the alternative polar form

$r=9a(\sec \theta -3\sec \theta {\tan }^{}\theta )$.

 المراجع

• J. D. Lawrence, A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, 1972, pp. 87-90.

 وصلات خارجية

• Eric W. Weisstein, Tschirnhausen Cubic at MathWorld.
• "Tschirnhaus' Cubic" at MacTutor History of Mathematics Archive
• Tschirnhausen cubic at mathcurves.com

قالب:Algebraic-geometry-stub