جسيم في حلقة

جسيم في حلقة في ميكانيكا الكم (بالإنجليزية: particle in a ring ) هو أحد النماذج المسخدمة في ميكانيكا الكم تؤدي إلى كمومية الطاقة (أي أن تتخذ الطاقة كمات محددة منفصلة) . ويعتبر هذا المثال مشابها لحالة الجسيم في صندوق والمحلولة هناك بإسهاب . ولذلك يسمى هذا النموذج أحيانا " جسيم في صندوق جهدي حلقي " .

تنشأ على محيط الدائرة عددا صحيحا فقط من أنصاف طول الموجة وتكوّن موجة ساكنة ، كما يمكن تكوّن ترددات خاصة معينة تفي بهذا الشرط ، وبالتالي عدة مستويات طاقة منفصلة.

والاختلاف عن حالة الجسيم في صندوق هو أن الجسيم هنا يتحرك دائريا وليس في خط مستقيم في حلقة جهد حول نقطة معينة .

وتصاغ معادلة شرودنگر لهذه الحالة كالآتي :

$-\frac{{\hslash }^2}{2m{r}^2}\cdot \frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}\psi (\mathit{\varphi })=E\psi (\mathit{\varphi })$

حيث :

E طاقة الجسيم

m كتلة الجسيم

r نصف قطر الحلقة الجهدية

$\psi (\mathit{\varphi })$ الدالة الموجية للجسيم .

 الصياغة الرياضية

لكي نحصل عل الدوال الموجية و ومستويات الطاقة لجسيم في الحلقة نستخدم معادلة شرودنغر في الحالة المستقرة (التي لا تعتمد على الزمن) في الجهد الموجود . ويمثل الجهد بالعلاقة:

$V(\varphi )=\{\begin{array}{cc}{V}_0,& \text{when }r=\rho \\ \mathrm{\infty },& \text{otherwise}\end{array}$

ويمكن كتابة معامل هاميلتون في نظام الإحداثيات الكروية في مسألتنا كالآتي:

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m{\rho }^2}\frac{d^2}{d{\varphi }^2}+V_0$

فتنتج معادلة شرودنجر التي نريد حلها :

${\psi }^{″}(\varphi )=-\frac{2m{\rho }^2}{{\hslash }^2}(E-V_0)\psi (\varphi ).$

وهي معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية ، وفيها طاقة E الجسيم ، وحل المعادلة يعطينا الدالة الموجية للجسيم :

${\psi }_M(\varphi )=\alpha e^{iM\varphi }.$

وبالتعويض عنها في معادلة شرودنجر نحصل على :

$M=\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hslash }\rho .$

ولكي نصل إلى حل واضح المعنى لا بد من اختيار شرط هام ، وهو أنه بعد إتمام دورة كاملة في الحلقة لابد وأن تتخذ الدالة الموجية قيمتها الابتدائية ثانيا:

$\psi (\varphi )=\psi (\varphi +2\pi ),$

وهذا يؤدي إلى الشرط التالي:

$\begin{array}{ll}\alpha e^{iM\varphi }& =\alpha e^{iM(\varphi +2\pi )}\\ e^{iM\varphi }& =e^{iM\varphi }{e}^{2\pi iM}\\ e^{2\pi iM}& =1.\end{array}$

وهذا الشرط يتحقق عندما تكون $M$ عددا صحيحا . ونحصل على الطاقات التي يمكن للجسيم امتلاكها في الحلقة عن طريق اعادة تشكيل المعادلة:

$E=\frac{M^2{\hslash }^2}{2m{\rho }^2}+V_0,M\in \mathbb{\mathbb{Z}}.$

والآن نقوم بتوحيد الدالة الموجية ، عن طريق إجراء تكامل على مربع مقدار الدالة الموجية بين $0$ و $2\pi$ (التوحيد معناه أن الدالة الموجية موجودة في الحلقة بنسبة 100%) .

ويمكن كتابة الدالة الموجية ب صيغة أويلر التي تحول الدالة الأسية المركبة إلى دالة مثلثية بالطريقة التالية:

$\alpha e^{iM\varphi }=\alpha (i\sin (M\varphi )+\cos (M\varphi ))$

وبما أن مقدار العدد المركب $z$ معرف بالعلاقة $\left|z\right|=\sqrt{\text{Im}(z{)}^2+\text{Re}(z{)}^2}$

فنحصل على:

${\alpha }^2\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{=1}{\underbrace{{\sin }^2(M\varphi )+{\cos }^2(M\varphi )}}\mathrm{d}\varphi =1,$

بذلك نحصل على قيمة $\alpha =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ .

بذلك نكون قد توصلنا إلى الدالة الموجية لجسيم في الحلقة :

${\psi }_M(\varphi )=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{iM\varphi }M\in \mathbb{\mathbb{Z}},& \text{when }r=\rho \\ 0,& \text{otherwise.}\end{array}$

حيث $\rho$ هو نصف قطر الحلقة الذي يستقر فيه الجسيم .

كما حصلنا أعلاه على الطاقات E التي يمكن للجسيم امتلاكها وهي تعتمد على $M^2$ حيث M لا تأخذ سوى أعدادا صحيحة ، وهذ هو معنى كمومية الطاقة ، فالطاقة التي يمكن للجسيم امتلاكها تكون منفصلة descret.

 الانفطار

بين حل مسألة حركة جسيم في حلقة جهدية أن طاقة الجسيم تتخذ مقادير كمومية منفصلة ، وبجانب تلك النتيجة الهامة يشير المثال إلى تواجد صفة افطار أو انشقاق مستويات الطاقة . فحل مسألة الجسيم في حلقة أتي بقيم ل $M$ ذات إشارة موجبة وذات إشارة سالبة ، أي تمثل حالتين مختلفتين حيث $M^2$ تمثل نفس الطاقة . هذا معناه أنه توجد لكل مستوي طاقة حالتين ، ويسمى ذلك أن النظام منفطر انفطارا ثنائيا .

ونشاهد ظاهرة انفطار مستويات طاقة الإلكترون في الذرات عند تعرض الذرة إلى مجال مغناطيسي خارجي شديد كما في تأثير زيمان ، أو تعرض الذرة إلى مجال كهربائي خارجي شديد مثلما في تأثير شتارك. وتظهر عمليا في هيئة انشقاق خطوط الطيف لها .

 توحيد الدالة الموجية للزخم الزاوي

للحصول على القيم $A$ للزخم الزاوي نستخدم عملية التوحيد وهي أحد شروط حل الدالة الموجية لجسيم . والتوحيد معناه أن الجسيم موجود فعلا في الحلقة .

للحصول على قيمة الدالة الموجية نضرب الدالة الموجية في مرافقها ${\psi }^{*}$ ، ونأخذ الجذر التربيعي منها.

نحصل على ثابت التوحيد $A$ بإجراء تكامل المعادلة:

بذلك نحصل على الدالة الموجية الموحدة :

وتتحقق المعادلة عندما يكون ثابت التوحيد عددا حقيقيا (أي عندما يكون طور الموجة مساويا للصفر ، $\beta =0$).

وبالتعويض عنها في معادلة مربع الدالة الموجية أعلاه , نحصل على الكثافة الاحتمالية :

وهي نتيجة تتفق مع الميكانيكا الكلاسيكية .

 انظر أيضاً

• معادلة شرودنگر
• جهد يوكاوا
• ميكانيكا الكم
• هزاز توافقي
• هزاز توافقي (ميكانيكا الكم)
• جسيم في صندوق