طريقة نيوتن

في التحليل العددي ، تعتبر طريقة نيوتن أو طريقة نيوتن-رافسون خوارزمية فعالة لإيجاد جذور تابع حقيقي . لذلك تعتبر مثالا لخوارزميات إيجاد الجذور . يمكن استخدامها لإيجاد الحدود العليا و الحدود الدنيا لمثل هذه التوابع ، عن طريق ايجاد جذور المشتق الأول للتابع .

الطريقة

التأويل الهندسي كما يلي: نختار قيمة أفصول قريبة من الصفر (جذر المعادلة). و نغير التمثيل المبياني بالمماس و نحسب الصفر التقريبي. صفر المماس هو قيمة تقريبية لجذر المعادلة, و من ثم يمكن اعادة الحساب للحصول على حل أكثر قربا للحل.

الدالة ƒ تظهر بالأزرق والخط المماس بالأحمر. ونرى أن xn+1 هي تقريب أفضل من xn للجذر x للدالة f.

عملياً، العمليات بالنسبة لf : [a, b] → R، دالة معرفة و قابلة للإشتقاق على المجال[a, b] نختار قيمة اعتباطيةx0 (كلما كانت قريبة من الحل كلما كان أفضل). نحدد بالترجع بالنسبة لكل عدد صحيح طبيعيn:

xn+1=xn−f(xn)f′(xn)

حيث f 'هي الدالة المشتقة للدالة f .

نستطيع أن نبين أنه إذا كانت f ' دالة متصلة والجذر المجهول α معزول, فإنه يوجد مجاور ل α حيث لكل قيم الانطلاق x0 للجوار, المتتالية (xn) تقترب من α. أكثر من ذلك, إذا كانت f '(α) ≠ 0, فإن التقارب رباعي أي أن عدد الأرقام الصحيحة تقريبا تتضاعف في كل مرحلة.

تعميمات

دوال معقدة

أحواض جذب x5 − 1 = 0؛ الأدكن يعني دورات أكثر للتقارب.

أنظمة معادلات غير خطية

k متغير، k دالة

JF(xn)(xn+1−xn)=−F(xn)

للمجهول xn+1 − xn.

معادلات غير خطية في فراغ باناش

Xn+1=Xn−[F′(Xn)]−1F(Xn),

حيث F′(Xn) هي مشتقة فريشيه المحسوبة عند Xn. ويحتاج المرء مشتقة فريشيه لكي يصبح غير قابل محدودياً للقلب عند كل Xn لكي تكون الطريقة قابلة للتطبيق. شرط الوجود والتقارب إلى جذر تعطيه مبرهنة نيوتن-كانتوروڤيتش.

انظر أيضاً

الهامش

وصلات خارجية

الكلمات الدالة:
تمّ الاسترجاع من "https://www.marefa.org/w/index.php?title=طريقة_نيوتن&oldid=1608553"