قاعدة پاسكال

(\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 1}{k - 1}) = (\binom{n}{k}) for 1 \leq k \leq n

حيث $(\binom{n}{k})$ هو معامل لثنائية الحدود. ويشيع كتابة ذلك كالتالي

(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1}) = (\binom{n + 1}{k}) for 1 \leq k \leq n + 1

برهان جبري

نحتاج أن نُظهـِر

(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1}) = (\binom{n + 1}{k}) .

ولنبدأ بكتابة الطرف الأيسر

\frac{n!}{k! (n - k)!} + \frac{n!}{(k - 1)! (n - (k - 1))!} .

وبتوحيد المقامات ثم التبسيط، نحصل على

\begin{array}{l} \frac{n!}{k! (n - k)!} + \frac{n!}{(k - 1)! (n - k + 1)!} \\ = \frac{(n - k + 1) n!}{(n - k + 1) k! (n - k)!} + \frac{k n!}{k (k - 1)! (n - k + 1)!} \\ = \frac{(n - k + 1) n! + k n!}{k! (n - k + 1)!} \\ = \frac{(n + 1) n!}{k! ((n + 1) - k)!} \\ = \frac{(n + 1)!}{k! ((n + 1) - k)!} \\ = (\binom{n + 1}{k}) . \end{array}

فلنفترض $n, k_{1}, k_{2}, k_{3}, \dots, k_{p}, p \in ℕ^{*}$ و $n = k_{1} + k_{2} + k_{3} + \dots + k_{p}$ . ثم

\begin{array}{l} (\binom{n - 1}{k_{1} - 1, k_{2}, k_{3}, \dots, k_{p}}) + (\binom{n - 1}{k_{1}, k_{2} - 1, k_{3}, \dots, k_{p}}) + \dots + (\binom{n - 1}{k_{1}, k_{2}, k_{3}, \dots, k_{p} - 1}) \\ = \frac{(n - 1)!}{(k_{1} - 1)! k_{2}! k_{3}! \dots k_{p}!} + \frac{(n - 1)!}{k_{1}! (k_{2} - 1)! k_{3}! \dots k_{p}!} + \dots + \frac{(n - 1)!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! \dots (k_{p} - 1)!} \\ = \frac{k_{1} (n - 1)!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! \dots k_{p}!} + \frac{k_{2} (n - 1)!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! \dots k_{p}!} + \dots + \frac{k_{p} (n - 1)!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! \dots k_{p}!} = \frac{(k_{1} + k_{2} + \dots + k_{p}) (n - 1)!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! \dots k_{p}!} \\ = \frac{n (n - 1)!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! \dots k_{p}!} = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! \dots k_{p}!} = (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, k_{3}, \dots, k_{p}}) . \end{array}

This article incorporates material from Pascal's rule on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.
This article incorporates material from Pascal's rule proof on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.
Merris, Russell. Combinatorics. John Wiley & Sons. 2003 ISBN 978-0-471-26296-1

الكلمات الدالة:

v t e بليز پاسكال
التجارب والاختراعات وعمله	برميل پاسكال حاسبة پاسكال قانون پاسكال مبرهنة پاسكال مثلث پاسكال قاعدة پاسكال Pascal's Wager
أعماله	Lettres provinciales (1656-1657) Pensées (1669)
أسرته	إتيان پاسكال (والده) جاكلين پاسكال (شقيقته)