قوانين أويلر

في الميكانيكا الكلاسيكية ، قوانين أويلر للحركة هي معادلات الحركة التي توسع قوانين نيوتن للحركة للجسيمات النقطية إلى حركة الجسم الجامد. لقد صاغها ليونهارد أويلر بعد حوالي 50 عامًا من صياغة إسحاق نيوتن لقوانينه.

 نظرة عامة

 قانون أويلر الأول

ينص قانون أويلر الأول على أن الزخم الخطي للجسم ، p (يشار إليه أيضًا بـ G) يساوي حاصل ضرب كتلة الجسم $m$ وسرعة مركز كتلته $V_{cm}$

$\mathbf{p}=m{\mathbf{v}}_{\mathrm{c}\mathrm{m}}$

لا تساهم القوى الداخلية بين الجسيمات التي يتألف منها الجسم في تغيير الزخم الكلي للجسم حيث توجد قوة مساوية ومعاكسة تؤدي إلى عدم وجود تأثير نهائي. كما جاء في القانون:

$\mathbf{F}=m{\mathbf{a}}_{\mathrm{c}\mathrm{m}}$

حيث a_cm = dv_cm/dt هو تسارع مركز الكتلة و F = dp/dt هي القوة الكلية المؤثرة على الجسم. هذا فقط مشتق زمني للمعادلة السابقة ($m$ثابت).

 قانون أويلر الثاني

ينص قانون أويلر الثاني على أن معدل تغير الزخم الزاوي L (يُشار إليه أحيانًا H) حول نقطة ثابتة في إطار مرجعي بالقصور الذاتي (غالبًا مركز كتلة الجسم) ، يساوي مجموع العزوم الخارجية للقوة (عزم الدوران) يعمل على ذلك الجسم M (يُشار إليه أيضًا $\tau$ أو $\mathrm{\Gamma }$) حول تلك النقطة:

$\mathbf{M}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}$

لاحظ أن الصيغة أعلاه لا تنطبق إلا إذا تم حساب كل من M و L فيما يتعلق بإطار مرجعي ثابت (fixed inertial frame) أو إطار موازٍ للإطار مرجعي ولكن مثبت في مركز الكتلة. بالنسبة للأجسام الصلبة التي تنتقل وتدور في بعدين فقط ، يمكن التعبير عن ذلك كـ

$\mathbf{M}={\mathbf{r}}_{\mathrm{c}\mathrm{m}}\times {\mathbf{a}}_{\mathrm{c}\mathrm{m}}m+I{\alpha }$

حيث $r_{cm}$ هو متجه الموقع لمركز الكتلة بالنسبة الي النقطة التي يتم جمع العزم حولها ، $\alpha$ هي التسارع الزاوي للجسم حول مركز كتلته ، و $I$هو عزم القصور الذاتي للجسم حول مركزه كتلة. انظر أيضًا معادلات أويلر (ديناميكيات الجسم الصلبة).

 الشرح والاشتقاق

لا يكون توزيع القوى الداخلية في جسم قابلة للتشكل متساويًا بالضرورة ، أي أن الضغوط تختلف من نقطة إلى أخرى. يخضع هذا الاختلاف في القوى الداخلية في جميع أنحاء الجسم لقانون نيوتن الثاني للحركة للحفاظ على الزخم الخطي والزخم الزاوي ، والتي يتم تطبيقها لأبسط استخدام لها على جسيم الكتلة ولكنها تمتد في ميكانيكا الأوساط المتصلة إلى جسم ذي كتلة موزعة بشكل مستمر.. بالنسبة للأجسام المستمرة ، تسمى هذه القوانين قوانين أويلر للحركة. إذا تم تمثيل الجسم على أنه مجموعة من الجسيمات المنفصلة ، تخضع كل منها لقوانين نيوتن للحركة ، فيمكن عندئذٍ اشتقاق معادلات أويلر من قوانين نيوتن. ومع ذلك ، يمكن اعتبار معادلات أويلر بديهيات تصف قوانين الحركة للأجسام الممتدة ، بصرف النظر عن أي توزيع للجسيمات.

إجمالي قوة الجسم المطبقة على جسم متصل بكتلة $M$ ، وكثافة كتلة $\rho$ ، والحجم $V$ ، هو تكامل حجمي المتكامل على حجم الجسم:

${\mathbf{F}}_B={\int }_V\mathbf{b}dm={\int }_V\mathbf{b}\rho dV$

حيث b هي القوة المؤثرة على الجسم لكل وحدة كتلة (أبعاد التسارع ، تسمى على نحو خاطئ "قوة الجسم") ، و $dm=\rho dV$ هي عنصر كتلة متناهٍ في الصغر في الجسم.

تؤدي قوى الجسد وقوى الاتصال المؤثرة على الجسم إلى لعزم (عزم دوران) مقابلة لتلك القوى بالنسبة إلى نقطة معينة. وبالتالي ، يتم إجمالي عزم الدوران المطبق M حول الأصل يحسب بواسطة

$\mathbf{M}={\mathbf{M}}_B+{\mathbf{M}}_C$

حيث يشير ${\mathbf{M}}_B$ و ${\mathbf{M}}_C$على التوالي إلى العزوم التي يسببها الجسم وقوى الاتصال. وبالتالي ، يمكن إعطاء مجموع كل القوى المطبقة وعزم الدوران (بالنسبة الي نقطة الأصل لنظام الإحداثيات) التي تعمل على الجسم كمجموع الحجم وتكامل السطح:

$\mathbf{F}={\int }_V\mathbf{a}dm={\int }_V\mathbf{a}\rho dV={\int }_S\mathbf{t}dS+{\int }_V\mathbf{b}\rho dV$

$\mathbf{M}={\mathbf{M}}_B+{\mathbf{M}}_C={\int }_S\mathbf{r}\times \mathbf{t}dS+{\int }_V\mathbf{r}\times \mathbf{b}\rho dV$

حيث يُطلق على $\mathbf{t}=\mathbf{t}(\mathbf{n})$ اسم الجر السطحي ، المتكامل على سطح الجسم ، بدوره $\mathbf{n}$ يشير إلى متجه وحدة عادي في اتجاه الخارج نحو السطح $S$.

اجعل نظام الإحداثيات $(x_1,x_2,x_3)$ إطار مرجعي قصوري ، و $\mathbf{r}$ يكون متجه الموضع لجسيم نقطي في الجسم المستمر فيما يتعلق بأصل نظام الإحداثيات ، و v = dr/dt هي متجه السرعة من تلك النقطة

تنص بديهية أويلر الأولى أو قانون (قانون توازن الزخم الخطي أو توازن القوى) على أنه في إطار قصوري ، فإن المعدل الزمني لتغير الزخم الخطي $\mathbf{p}$ لاي جزء من جسم مستمر يساوي إجمالي القوة المطبقة $\mathbf{F}$ التي تعمل على هذا الجزء ، ويتم التعبير عنه كـ

$\begin{array}{ll}\frac{d\mathbf{p}}{dt}& =\mathbf{F}\\ \frac{d}{dt}{\int }_V\rho \mathbf{v}dV& ={\int }_S\mathbf{t}dS+{\int }_V\mathbf{b}\rho dV.\\ \end{array}$

تنص بديهية أويلر الثانية أو قانون (قانون توازن الزخم الزاوي أو توازن عزم الدوران) على أنه في إطار قصوري ، فإن المعدل الزمني لتغير الزخم الزاوي $\mathbf{L}$ لاي جزء من جسم مستمر يساوي إجمالي عزم الدوران المطبق $\mathbf{M}$الذي يعمل على هذا الجزء ، ويتم التعبير عنه كـ

$\begin{array}{ll}\frac{d\mathbf{L}}{dt}& =\mathbf{M}\\ \frac{d}{dt}{\int }_V\mathbf{r}\times \rho \mathbf{v}dV& ={\int }_S\mathbf{r}\times \mathbf{t}dS+{\int }_V\mathbf{r}\times \mathbf{b}\rho dV.\\ \end{array}$

حيث $\mathbf{v}$ هي السرعة ، $\mathbf{V}$الحجم ، ومشتقات $\mathbf{p}$ و $\mathbf{L}$ هي مشتقات مادية.

 المراجع

1. McGill and King (1995). Engineering Mechanics, An Introduction to Dynamics (3rd ed.). PWS Publishing Company. ISBN 0-534-93399-8.
2. Rao, Anil Vithala (2006). Dynamics of particles and rigid bodies. Cambridge University Press. p. 355.
3. "Euler's Laws of Motion". Retrieved 2009-03-30
4. Gray, Gary L.; Costanzo, Plesha (2010). Engineering Mechanics: Dynamics. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-282871-9.
5. Ruina, Andy; Rudra Pratap (2002). Introduction to Statics and Dynamics (PDF). Oxford University Press. p. 771. Retrieved 2011-10-18
6. Lubliner, Jacob (2008). Plasticity Theory (PDF) (Revised ed.). Dover Publications. pp. 27–28. ISBN 978-0-486-46290-5. Archived from the original (PDF) on 2010-03-31.

.