مبرهنة ليوفيل

مبرهنة ليوفيل liouville s theorem مبرهنة رياضياتية للعالم و الرياضياتي الفرنسي جوزيف ليوفيل و هي مبرهنة رياضية تعطي معادلة تربط بين تطور حجم volume مجموعة نقاط مبدئية (initial condition) لنظام معين (system) في الزمن و هذا الحجم.

 الحجم في فضاء يتجاوز بعده 3

لنفرض أنه لدينا مجموعة نقاط $X$ حجم هذه المجموعة في فضاء بعده n يمكن فهمه على أنه دالة نسميها $\rho$ من ال $R^n\to R$ و هي دالة تنسب لكل مجموعة من حجمها. و من البديهي أنه على هذه الدالة أن تكون موجبة دائما حيث أنه لا وجود لحجم سالب. و بهذا يكون حجم المجموعة $X$:

$Vo{l}_{\rho }\left(X\right)={\int }_X\rho (x)dx$

 مبرهنة ليوفيل

فلنفرض أنه لدينا النظام التالي:

$\dot{x}=f(x)$

و مجموعة من النقاط البدئية $X$ يمكن أن ننسب لها حجما

$Vo{l}_{\rho }\left(X\right)$

و إذا فرضنا أن ${\phi }_t\left(X\right)$ هي مجموعة حلول النظام the set of the flows فإن مبرهنة ليوفيل تقول ما يلي:

${\frac{\partial }{\partial t}Vo{l}_{\rho }\left({\phi }_t\left(X\right)\right)|}_{t=0}=Vo{l}_{div\left(\rho f\right)}\left(X\right)$

حيث $div=\mathrm{\nabla }$

هذه المقالة عبارة عن بذرة تحتاج للنمو والتحسين؛ فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.