مصفوفات

المــصــفــوفــات الرياضية

ساهم بشكل رئيسي في تحرير هذا المقال

المصفوفةMatrix هي عبارة عن مجموعة مكونة من m×n عنصراً عددياً حقيقياً أو عقدياً مرتبةً بـ m سطر و n عمود على الشكل التالي :

$[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{13} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & a_{m 3} & \dots & a_{m n} \end{matrix}]$

وندعو الأعداد $a_{11}, a_{12}, . . . . . a_{m 1}, a_{m 1}, a_{m n}$ بعناصر هذه المصفوفة

ونرمز لها اختصاراً بالرمز $a_{i j}$

حيث يشير الدليل الأول i في العنصر $a_{i j}$ إلى رقم السطر الواقع فيه هذا العنصر

والدليل الثاني j في العنصر $a_{i j}$ إلى رقم العمود الواقع فيه هذا العنصر أيضاً

حيث i=1,2,……,m و j=1,2,….,n

ونرمز عادة للمصفوفة بأحرف لاتينية كبيرة مثل ……. A , B , C , D

واختصاراً نكتب : $A = {[a_{i j}]}_{m \times n}$

أو بالشكل : $A = [a_{i j}]$ حيث : i = 1 , 2 , 3 …… , m و J = 1 , 2 , 3 … , n

ونقول إن المصفوفة $A$ من المرتبة $m \times n$

مثال :

$(\begin{matrix} 2 & 4 & 6 & 11 \\ 7 & 1 & 3 & 5 \end{matrix})$

m=2 عدد الأسطر , n=4 عدد الأعمدة

و نقول إن المصفوفة من المرتبة $2 \times 4$

نلاحظ أنَّ : $a_{13} = 6$ , $a_{24} = 5$

انواع المصفوفات

1.المصفوفة المستطيلة: هي المصفوفة التي يكون فيها m≠n مثال:التمرين السابق فيه A مصفوفة مستطيلة فيها: m=2 ≠ n=4

2.المصفوفة المربعة: ويكون فيها m=n ونقول فقط في هذه الحالة أن هذه المصفوفة من المرتبة n وندعو العناصرaij من المصفوفة A المربعة التي يكون فيها i=j عناصر القطر الرئيسي

أي العناصر $a_{11}$ , $a_{22}$ , $a_{33}$ ,… $a_{n n}$

مثال : مصفوفة مربعة من المرتبة الثالثة لأن m=3 و n=3

$(\begin{matrix} 2 & - i & 1 \\ 3 & - 1 & 2 \\ - 1 & - 1 & - 1 \end{matrix})$

ملاحظة: أي عدد حققي أو عقدي يمكن اعتباره مصفوفة مربعة مرتبتها هي [1]

3. المصفوفة السطرية : هي المصفوفة التي يكون فيها m=1

A= $(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \end{matrix})$

4. المصفوفة العمودية: هي المصفوفة التي يكون فيها n=1

$(\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \\ ⋮ \\ a_{n 1} \end{matrix})$

5.المصفوفة الحقيقية: هي المصفوفة التي يكون جميع عناصرها أعداداً حقيقة وفي حال حوت المصفوفة A عدد عقدي واحد على الأقل بين عناصرها فإننا ندعوها مصفوفة عقدية

6.المصفوفة الصفرية: هي المصفوفة التي يكون جميع عناصرها أصفاراً

7.المصفوفة المثلثية العلوية: هي مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر الواقعة تحت القطر الرئيسي أصفار أي أن :

$a_{i j}$ ≠0 عندما i≤j

$a_{i j}$ =0 عندما j>i

8.المصفوفة المثلثية السفلية: هي مصفوفة مربعة يكون فيها جميع العناصر الواقعة فوق القطر الرئيسي أصفار أي أن: :

$a_{i j}$ ≠0 عندما i≥j

$a_{i j}$ =0 عندما j<i

ملاحظة:

ليس من الضروري أن تكون جميع العناصر الواقعة فوق القطر الرئيسي في مصفوفة مثلثية علوية لا تساوي الصفر.
ويمكن لبعض العناصر الواقعة تحت القطر الرئيسي في مصفوفة مثلثية سفلية أن تكون معدومة.

9.المصفوفة القطرية: هي مصفوفة مربعة مثلثية سفلية وعلوية بنفس الوقت ويمكن لبعض عناصر القطر الرئيسي فيها أن تكون معدومة .

i≠j ; 0 = $a_{i j}$ ≈ A قطرية

i≠j ; 0 != $a_{i j}$

10.المصفوفة الواحدية: هي مصفوفة قطرية جميع عناصر قطرها الرئيسي هي الواحد ويرمز لها بالرمز In

11.المصفوفة السلمية : هي مصفوفة قطرية جميع عناصر قطرها الرئيسي تساوي عدداً حقيقياً غير معدوم وليكن Y

$(\begin{matrix} Y & 0 & 0 & 0 \\ 0 & Y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & Y & 0 \\ 0 & 0 & 0 & Y \end{matrix})$

المصفوفة الواحدية هي حالة خاصة من المصفوفة السلمية .

In= $(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$

تعريف : إذا كانت $A = [a_{i j}]_{m \times n}$ و $B = [b_{i j}]_{r \times q}$ مصفوفتين نقول إن A و B لهما نفس الشكل إذا كان m=r,q=n

المصفوفتان المتساويتان

نقول عن مصفوفتين A و B أنهما متساويتان إذا كان لهما نفس الشكل وكانت العناصر المتقابلة في كلا المصفوفتين متساوية

مثال : A = $(\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 & 2 \\ 4 & 5 & - 3 & 1 \end{matrix})$

B = $(\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ x_{5} & x_{6} & x_{7} & x_{8} \end{matrix})$

تكون A و B متساويتان : نلاحظ أن الشرط الأول محقق : A و B ,لهما نفس العدد من الأسطر وهو 2 ونفس العدد من الأعمدة وهو 4

أي أن لهما نفس الشكل : الشرط الثاني : العناصر المتقابلة يجب أن تكون متساوية في كلا المصفوفتين

$X_{1} = 1$ , $X_{2} = 0$ , $X_{3} = - 1$

$X_{4} = 2$ , $X_{5} = 4$ , $X_{6} = 5$

$X_{7} = - 3$ , $X_{8} = 1$

منقول مصفوفة

لتكن $A = [a_{i j}]_{m \times n}$ ندعو المصفوفة $A^{t}$ بمنقول المصفوفة A وهي مصفوفة جديدة نحصل عليها من وضع أسطر المصفوفة A أعمدة وأعمدة A أسطراً مع المحافظة على ترتيب العناصر في هذه الأسطر والأعمدة .أي أن : $A^{t} = {[a_{i j}]}_{m \times n}$ مثال :

A = $(\begin{matrix} 1 & 3 & 5 \\ 7 & 9 & 11 \\ 0 & 2 & - 1 \end{matrix})$

$A^{t}$ = $(\begin{matrix} 1 & 7 & 0 \\ 3 & 9 & 2 \\ 5 & 11 & - 1 \end{matrix})$

ملاحظة ان منقول منقول المصفوفة هي المصفوفة الاولية نفسها . $A^{t^{t}}$ = $(\begin{matrix} 1 & 3 & 5 \\ 7 & 9 & 11 \\ 0 & 2 & - 1 \end{matrix})$

المصفوفة المتناظرة

لتكن $A = [a_{i j}]_{n}$ مصفوفة مربعة من المرتبة n نقول عن هذه المصفوفة أنها متناظرة إذا تحقق الشرط التالي : $a_{i j} = a_{j i}$ <-> $A^{t}$ = A

مثال ليكن لدينا المصفوفة المتناظرة A

A = $(\begin{matrix} 1 & - 1 & 4 \\ - 1 & 3 & 5 \\ 4 & 5 & 4 \end{matrix})$

$A^{t}$ = $(\begin{matrix} 1 & - 1 & 4 \\ - 1 & 3 & 5 \\ 4 & 5 & 4 \end{matrix})$ = A

المصفوفة المتناظرة تخالفياً

لتكن $A = [a_{i j}]_{n}$ مصفوفة مربعة من المرتبة n نقول عن المصفوفة أنها متناظرة تخالفياً إذا تحقق :

 $A^{t}$   -  = A

من التعريف نلاحظ أن $a_{j i}$ - = $a_{i j}$ عندما j ≠ i

عندما i=j لدينا 2 $a_{i i}$ = 0 <--- $a_{i i}$ = $- a_{i i}$

أي أن جميع عناصر القطر الرئيسي أصفار . مثال :

A= $(\begin{matrix} 0 & 1 & - 4 \\ - 1 & 0 & 3 \\ 4 & - 3 & 0 \end{matrix})$

$A^{t}$ = $(\begin{matrix} 0 & - 1 & + 4 \\ + 1 & 0 & - 3 \\ - 4 & + 3 & 0 \end{matrix})$

A= -1 * $(\begin{matrix} 0 & - 1 & + 4 \\ + 1 & 0 & - 3 \\ - 4 & + 3 & 0 \end{matrix})$ =- $A^{t}$

مرافق مصفوفة

مرافق عدد : ملاحظة : إذا كان a + i b عدداً عقدياً فإن مرافقه

$\overline{a + i b}$ = a - i b

تعريف : مرافق مصفوفة :

لتكن $A = [a_{i j}]_{m \times n}$ مصفوفة ما .... ندعو المصفوفة $\overline{A} = {\overline{[a_{i j}]}}_{m \times n}$ أو $\overline{A} = [\overline{a_{i j}}]_{m \times n}$ حيث $a_{i j}$ مرافق العدد $a_{i j}$ كما هو معرف بحقل الأعداد العقدية C

مثال A = $(\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & i & 5 \end{matrix})$

من المرتبة $3 \times 2$

فيكون مرافق هذه المصفوفة هو A = $(\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & - i & 5 \end{matrix})$

من المرتبة $3 \times 2$

المصفوفة الهرميتية

لتكن $A = [a_{i j}]_{n}$ مصفوفة مربعة ... نقول عن المصفوفة A أنها مصفوفة هرميتية إذا تحقق الشرط التالي : $\overset{t}{\overline{A}} = A$

نلاحظ أن المصفوفة المتناظرة حالة خاصة من المصفوفة الهرميتية عندما تكون المصفوفة حقيقية بحتة $[a_{i j}]_{n}$ = $[\overline{a_{j i}}]_{n}$

$a_{i j} = \overline{a_{j i}}$

مثال : أثبت أن A مصفوفة هرميتية :

A = $(\begin{matrix} 1 & 4 - 6 i & 5 + 2 i \\ 4 + 6 i & 2 & 3 - 4 i \\ 5 - 2 i & 3 + 4 i & 1 \end{matrix})$

نوجد اولا منقول المصفوفة

$A^{t}$ = $(\begin{matrix} 1 & 4 + 6 i & 5 - 2 i \\ 4 - 6 i & 2 & 3 + 4 i \\ 5 + 2 i & 3 - 4 i & 1 \end{matrix})$

ثم نوجد مرافق $A^{t}$

$\overset{t}{\overline{A}} = (\begin{matrix} 1 & 4 - 6 i & 5 + 2 i \\ 4 + 6 i & 2 & 3 - 4 i \\ 5 - 2 i & 3 + 4 i & 1 \end{matrix})$

فالمصفوفة هرميتية

ملاحظة : في مصفوفة هرميتية : عناصر القطر الرئيسي يجب أن تكون أعداداً حقيقية