في الرياضيات، المعادلة الجبرية أو المعادلة الحدودية أو المعادلة كثيرة الحدود Polynomial_equation هي معادلة على الشكل التالي:

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0$

حيث $a_{i}$ , معاملات المعادلة, و الهدف هو إيجاد جميع قيم المجهول $x$ . و نقول أن كثير الحدود من الدرجة الأولى إذا كانت أعلى قوة ل $x$ تظهر في المعادلة هي واحد. وهي من الدرجة الثانية إذا كانت أعلى قوة ل $x$ هي إثنين و هكذا دواليك. إذن نقول أن كثير الحدود من الدرجة n إذا كانت أعلى قوة ل $x$ هي n. و تقول المبرهنة الأساسية في الجبر أن لكل معادلة حدوددية من الدرجة n يوجد عدد n من الحلول (ذلك إذا إحتسبنا الحلول المكررة أي التي يجب أن نعدها مرتين). كما تجدر الإشارة إلى أن كل معادلة حدودية ذات معاملات تنتمي إلى الأعداد الحقيقية إن كان لها حلول تنتمي إلى الأعداد المركبة فإن هذه الحلول تكون دائما مترافقة أي أنه يكون دائما هناك حل في شكل a+ib و آخر في شكل a-ib. أما إذا كانت المعاملات عقدية فإن ذلك ليس صحيحا.

توضيح المبرهنة الأساسية في الجبر

إذا إعتبرنا المعادلة التالية:
$x^{2} + 2 x + 1 = 0$
فإن الحل هو 1- و لكن يتم إعتبار هذا الحل مكررا مرتين لأننا يمكن أن نكتب المعادلة بالشكل التالي:
$x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2} = (x + 1) (x + 1) = 0$
و لذلك نرى أنه لتكون المعادلة صحيحة يجب أن يكون القوس الأول يساوي صفرا أو الثاني يساوي صفرا و في كل مرة يعينا ذلك حلا أي أن الحل 1- مكرر مرتين. كذلك إذا إعتبرنا
$(x - 1)^{n} = 0$
فإن الحل هو 1 و لكنه مكرر n مرة إلخ.... بهذه الطريقة تتم حساب عدد الحلول. و على أساس ذلك يكون كما هو مذكور أعلاه لكل معادلة حدودية من الدرجة n عدد n من الحلول

طرق حل المعادلات الحدودية

المعادلة من الدرجة الأولى

حل المعادلة: $a x + b = 0$ هو $x = \frac{- b}{a}$ حيث $a \neq 0$

المعادلة من الدرجة الثانية

لحل المعادلة: $a x^{2} + b x + c = 0$ , نحسب المميز Δ المعرف ب: $Δ = b^{2} - 4 a c$ , و يكون للمعادلة حلان هما:

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$
$x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ .

المعادلة من الدرجة الثالثة

طريقة كاردان

طريقة كاردان هي طريقة تمكن من حل جميع المعادلات من الدرجة الثالثة.

هذه الطريقة تكمن من استعمال صيغ كاردان المعطات بدلالة p و q حلول المعادلة: $x^{3} + p x + q = 0$ . و هي تمكن من البرهنة على أن المعادلات من الدرجة 3 يمكن حلها جبريا.

صيغ كاردان

بالنسبة للمعادلة: $x^{3} + p x + q = 0$ نحسب $Δ = 4 p^{3} + 27 q^{2}$ , ثم ندرس إشارته.

Δ موجب

نضع

$u = \sqrt[3]{\frac{- 27 q + 3 \sqrt{3} \sqrt{Δ}}{2}}$
$v = \sqrt[3]{\frac{- 27 q - 3 \sqrt{3} \sqrt{Δ}}{2}}$

الحل الوحيد الحقيقي هو $x_{1} = \frac{1}{3} (u + v)$ .

و حلان عقديان مترافقان:

$x_{2} = \frac{1}{3} (j u + \bar{j} v)$
$x_{3} = \frac{1}{3} (\bar{j} u + j v)$

حيث $j = - \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i \frac{2 π}{3}}$

Δ سالب

يوجد عدد عقدي u الذي هو جذر مكعب ل $\frac{- 27 q + 3 i \sqrt{3} \sqrt{- Δ}}{2}$ .

المعادلة تقبل ثلاث حلول حقيقية:

$x_{1} = \frac{1}{3} (u + \bar{u})$
$x_{2} = \frac{1}{3} (j u + \bar{j} \bar{u})$
$x_{3} = \frac{1}{3} (j^{2} u + \bar{j^{2}} \bar{u})$

تفسير الطريقة

الصيغة المختصرة

نعتبر الصيغة العامة للمعادلة: $a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0$ ,

نضع:
$x = z - \frac{a_{2}}{3 a_{3}}$
لنحصل على الصيغة:
$z^{3} + p z + q = 0$
نضع الآن:
$z = u + v$ الآن نحصل على مجهولين بدل مجهول واحد, لكن نضع شرطا يمكن من التبسيط:
$(u + v)^{3} + p (u + v) + q = 0$ تتحول هذه المعادلة إلى الشكل:
$u^{3} + v^{3} + (3 u v + p) (u + v) + q = 0$ شرط التبسيط يكون إذن:
$3 u v + p = 0$ الذي يعطي من جهة:
$u^{3} + v^{3} + q = 0$ و من جهة أخرى:
$u v = - \frac{p}{3}$ و عند رفع العددين إلى القوة 3, نحصل على:
$u^{3} v^{3} = - \frac{p^{3}}{27}$ و نحصل أخيرا على نظمة معادلتين لمجهولين $u^{3}$ و $v^{3}$ الآتية :
$u^{3} + v^{3} = - q$
$u^{3} v^{3} = - \frac{p^{3}}{27}$
$u^{3}$ et $v^{3}$ هما إذن عددين نعرف جمعهما و جذاءهما. هذين العددين هما جذرا المعادلة من الدرجة الثانية:
$X^{2} + q X - \frac{p^{3}}{27} = 0$

المعادلة من الدرجة الرابعة

طريقة فيراري

نعتبر الصيغة العامة للمعادلة من الدرجة الرابعة: $a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0$

نقسم على $a_{4}$ و نضع

$x = z - \frac{a_{3}}{4 a_{4}}$

لنصل إلى معادلة على صيغة :

$z^{4} + p z^{2} + q z + r = 0$

معادلة تكتب:

$z^{4} + r = - p z^{2} - q z$

نضيف

$2 z^{2} \sqrt{r}$

لطرفي المتساوية. فنحصل على:

$z^{4} + 2 z^{2} \sqrt{r} + r = 2 z^{2} \sqrt{r} - p z^{2} - q z$

نلاحظ أن الطرف الأول يكتب على صيغة مربع:

$(z^{2} + \sqrt{r})^{2} = 2 z^{2} \sqrt{r} - p z^{2} - q z$

من هاته النتيجة الأخيرة, نقوم بالنشر :

$(z^{2} + \sqrt{r} + y)^{2} = (z^{2} + \sqrt{r})^{2} + 2 y (z^{2} + \sqrt{r}) + y^{2}$

$(z^{2} + \sqrt{r} + y)^{2} = 2 z^{2} \sqrt{r} - p z^{2} - q z + 2 y (z^{2} + \sqrt{r}) + y^{2}$

$(z^{2} + \sqrt{r} + y)^{2} = (2 \sqrt{r} - p + 2 y) z^{2} - q z + 2 y \sqrt{r} + y^{2}$ (*)

الهدف هو تحديد y بحيث يكتب الطرف الثاني أيضا على صيغة مربع.

الطرف الثاني معادلة من الدرجة الثانية z. يكتب على شكل مربع . إذا كان المميز منعدما يعني:

$q^{2} - 4 (2 \sqrt{r} - p + 2 y) (2 y \sqrt{r} + y^{2}) = 0$

الشيء الذي يعطي, عن طريق النشر و التجميع معادلة من الدرجة الثالثة y الآتية :

$8 y^{3} + 4 (6 \sqrt{r} - p) y^{2} + 8 (2 r - p \sqrt{r}) y - q^{2} = 0$

نستطيع حل هذه المعادلة باستعمال الطريقة الخاصة بمعادلات الدرجة الثالثة لإيجاد y₀ .

المعادلة من الدرجة الخامسة فما فوق

انظر مبرهنة آبل

طرق رقمية لحل المعادلات الحدودية

طريقة نيوتن في حل المعادلات

انظر أيضاً

Algebraic function
Algebraic number
Root finding
Linear equation (degree = 1)
Quadratic equation (degree = 2)
Cubic equation (degree = 3)
Quartic equation (degree = 4)
Quintic equation (degree = 5)
Sextic equation (degree = 6)
Septic equation (degree = 7)
System of linear equations
System of polynomial equations
Linear Diophantine equation
Linear equation over a ring
Cramer's theorem (algebraic curves), on the number of points usually sufficient to determine a bivariate n-th degree curve

References

General references

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Algebraic equation", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
Eric W. Weisstein, Algebraic Equation at MathWorld.