تحويل أفيني

في الهندسة الرياضية، التحويل الأفيني بين فضائين شعاعيين (أو بشكل دقيق فضائين أفينيين) يتكون من تحويل خطي يتبع بعملية نقل:

x \mapsto A x + b

(أصل كلمة أفين هي من اللغة اللاتينية affinis وتعني "المتصل").

في البعد الأفيني، كل تحويل أفيني يعطى بالمصفوفة A والمتجهة b .

بالمعنى الفيزيائي، التحويل الأفيني هو التحويل الذي يحافظ على:

العلاقة الخطية بين النقاط، أي أن أي ثلاث نقاط واقعة على مستقيم واحد تبقى واقعة على مستقيم بعد التحويل
النسب على طول المستقيم، أي من أجل ثلاث نقاط $p_{1}$ , $p_{2}$ , $p_{3}$ تقع على مستقيم، فإن النسبة $| p_{2} - p_{1} | / | p_{3} - p_{2} |$ تكون محققة قبل وبعد التحويل.

التعريف الرياضي

الراسم الأفيني $f : 𝒜 \to ℬ$ بين فضائين أفينيين هو راسم يعمل على متجهات، معرفة بأزواج من النقاط، كـتحويل خطي: يوجد تحويل خطي φ بحيث

\vec{f (P) f (Q)} = φ (\vec{P Q})

for any pair of points $P, Q \in 𝒜$ . If an origin $O \in 𝒜$ is chosen, and $B$ denotes its image $f (O) \in ℬ$ , then this means that for any vector $\vec{x}$ :

f : O + \vec{x} \mapsto B + φ (\vec{x}) .

If an origin $O^{'} \in ℬ$ is also chosen, this can be decomposed as an affine transformation $𝒜 \to ℬ$ that sends $O \mapsto O^{'}$ , namely

f : O + \vec{x} \mapsto O^{'} + φ (\vec{x})

followed by the translation by a vector $\vec{b} = \vec{O^{'} B}$ .

تحويلات أفينية في الهندسة المستوية

في ℝ², the transformation shown at right is accomplished using the map given by:

[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] \mapsto [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 100 \\ - 100 \end{matrix}]

انظر أيضاً

الهامش